Le triangle de Sierpinski

Intéressons-nous à cette fractale... À première vue elle a l'air toute simple, mais elle cache en fait des propriétés extraordinaires que nous allons étudier. Commençons par généraliser ce que l'on a écrit sous les triangles : au bout de n itérations, on a :

. Soit U_n le nombre de triangles noirs, U_n=3ⁿ

. Soit V_n le côté du triangle, V_n=1/2ⁿ

Cherchons à calculer l'aire des triangles noirs. Pour cela, calculons l'aire d'un triangle de base a.
. Le triangle est équilatéral, donc la hauteur est égale à . L'aire d'un triangle noir est donc égale à

. Soit S_n l'aire d'un triangle noir au bout de n itérations, on a

Mais nous voulons l'aire de tous les triangles noirs. Soit A_n l'aire de tous les triangles noirs, d'après ce que l'on a trouvé ci-dessus, on a , donc .
Nous avons déjà vu que les représentations graphiques des fractales (par exemple ci-dessus), sont juste des représentations au bout de n itérations. Si l'on veut représenter la vraie fractale, il faudrait effectuer une infinité d'itérations, ce qui est impossible. Mais on peut très bien étudier mathématiquement le comportement d'une fractale, et c'est ce que nous faisons. Calculons donc l'aire des triangles noirs après une infinité d'itérations, et pour ce faire, nous allons calculer la limite de (A_n) quand n tend vers l'infini :
. La suite (A_n) converge vers 0, donc l'aire des triangles noirs est nulle au bout d'une infinité d'itérations. Cela peut paraître impossible, mais c'est pourtant la réalité. Mais alors pourquoi voyons-nous des triangles noir à l'écran, alors que leur aire est nulle ? Pour deux raisons... La première est que jamais on ne voit le vrai objet fractal puisque l'on ne peut pas représenter le tapis de Sierpenski au bout d'une infinité d'itérations, donc on ne peut pas réellement vérifier visuellement cette affirmation. Et deuxièmement, ce que nous voyons à l'écran, au bout d'un grand nombre d'itérations, c'est tout simplement les côtés des triangles, côtés dont l'aire est nulle.
Voici la première propriété impressionnante du tapis de Sierpenski, l'aire des triangles noirs converge vers 0.

Le triangle de Sierpinski possède aussi quelques proptiétés étonnantes : pour l'obtenir on peut construire un triangle de Pascal et noircir les nombres impairs...
ce triangle se trouve aussi dans la nature coimme sur ce coquillage :